문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 리 대수 (문단 편집) ==== 카르탕 행렬 ==== 위에서 소개한 base로 다시 돌아가 보자. Base 하나를 잡고 그 원소들을 [math(\alpha_1)], [math(\alpha_2)], [math(\cdots)], [math(\alpha_l)]로 표기하겠다. 이때 [math(\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = \frac{2 (\alpha_i, \alpha_j)}{(\alpha_j, \alpha_j)})]로 이루어진 [math(l \times l)]-행렬을 생각할 수 있다. 이 행렬을 가리켜 '''카르탕 행렬(Cartan matrix)'''이라고 부른다. 특히 앞서 소개한 바일 군의 성질에 의하여 주어진 root system의 카르탕 행렬은 행과 열의 교환을 고려했을 때 유일하다는 것을 알 수 있다. 또한 두 root systems가 동일한 카르탕 행렬을 가지면 그리고 그럴 때에만 두 root systems가 '동형'이라는 것을 알 수 있다. 이는 root system이 주어져 있을 때 카르탕 행렬만을 이용하여 root system의 원소들을 재구성할 수 있다는 사실로부터 알 수 있다. 다르게 표현하자면, 어떤 [math(\sum_{i = 1}^l a_i \alpha_i)]가 주어진 root system에 포함되어 있는지 여부를 [math(\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle)]들만 가지고 판별할 수 있다는 것이다.[* 이때 '''root system이 주어져 있어야 한다'''는 것이 중요하다. 주어진 root system 없이 카르탕 행렬만 가지고 root system의 원소들을 찾는다든가 할 수 없다는 것이다. 지금 유일성을 따지는 중이지 존재성을 따지는 중이 아니라는 것으로 받아들여도 좋다.] 편의 상 위의 카르탕 행렬을 [math(A = (a_{ij}))]라고 표기하자. 그러면 카르탕 행렬 [math(A)]는 다음 성질들을 만족한다. > (CM1) 모든 [math(i)]에 대하여 [math(a_{ii} = 2)]이다.[* [math(\langle \beta, \alpha \rangle)]의 정의에 의하여 당연.] > (CM2) 모든 서로 다른 [math(i, j)]에 대하여 [math(a_{ij})]는 양이 아닌 정수이다.[* [math(\langle \beta, \alpha \rangle > 0)]이면 [math(\beta - \alpha)]가 한 root이어야 하는 성질이 있다. 여기에 B2를 고려하면 [math(\langle \beta, \alpha \rangle)]가 양수일 수 없다는 것을 알 수 있다.] > (CM3) [math(a_{ij} = 0)]이면, 그리고 그럴 때에만 [math(a_{ji} = 0)][* 역시 [math(\langle \beta, \alpha \rangle)]의 정의에 의하여 당연.] > (CM4) 모든 대각성분이 양수인 어떤 대각행렬 [math(D)]와 positive-definite한 대칭행렬 [math(S)]가 존재하여 [math(A = DS)]이다. 이때 CM4는 [math(D)]의 각 대각성분을 순서대로 [math(\frac{2}{(\alpha_i, \alpha_i)})]로 두고 [math(S)]의 각 성분을 [math((\alpha_i, \alpha_j))]로 두어 [math(D)]와 [math(S)]를 정의하는 식으로 설명할 수 있다. 유클리드 공간 [math(E)]에 주어진 이중선형 형식이 항상 positive-definite하다는 것으로부터 [math(S)]가 positive-definite하다는 것이 얻어진다. 한편 위에서 말한 root system이 기약인 것과 base가 기약인 것 간의 관계로부터 다음을 바로 알 수 있다. 주어진 root system이 기약이면, 그리고 그럴 때에만 카르탕 행렬은 대각블럭행렬 꼴로 써지지 않는다. 거꾸로, 이 성질들을 만족하는 행렬을 얼마든지 만들 수 있을 것 같아 보인다. 하지만 결코 그렇지 않다. 사실 무한히 많긴 하지만 이들은 극히 몇 가지의 경우로만 제한되며, 특히 [math(E)]의 차원을 고정한 경우 유한한 경우에만 한정된다. 기약 root system에 해당하는 카르탕 행렬만 생각한다면 차원 당 많아야 5가지 밖에 찾을 수 없다. 그리고 특정한 패턴으로 나눌 경우, 이들은 겨우 7가지로만 분류가 된다. 이 결과야말로 유한 차원 split 반단순 리 대수의 분류를 완성짓는 결과이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기